点到平面的距离恒等式推导

线性数值始终是一个很好的工具，它能够使数形结合，而且容易阐释并简便数值。本文从线性代数取向来推导这个乘积。

先为修习一些先基础知识。

线性的对角

我们学过物理学知道，当拉动观察者运动，只有沿着观察者运动侧向的力才能使观察者做功，如图拉动两头，F的分力Fx使沿着水平侧向才能使两头运动，起大小为Fx=F. cos550, 我们称Fx是F在水平侧向x轮轴的对角。

线性v的线段在线性u上的对角称作(沿余弦侧向)Projuv (proj来自法语projection,对角的意即)， 如果标量u, v的夹角为θ，根据标量的政治性有：

下面u或v两侧的双竖线表示标量的阔度。

如果要求v沿着u的对角标量，我们将上式倍数u的单位标量，就可得Projuv

梯形的线性定律

如上图所示，n是梯形的镜像， PQ是梯形的也就是说双曲线，根据线性亦然切线积为零有：

这就是梯形的线性定律。

令其n = 〈 a, b, c 〉是个法向线性，P = (x0, y0, z0)是梯形上的一个点，Q = (x, y, z)是梯形上所有的点集。所以：

因此可以给出梯形定律的NH：

ax + by + cz + d = 0, 其之前 d = −ax0 − by0 − cz0

一般值用标记则有梯形定律：

Ax + By +Cz + D = 0

点到梯形的半径

有了下面的先基础知识，我们就可以求点到梯形的半径。

上图P点到梯形的半径d就是标量RP的阔度，而RP在n上的对角阔度就是点P到梯形的半径。

利用v在u上的对角乘积：

由此给出点到梯形的半径以线性的表达方式为：

下面的乘积之前的Q点是梯形上的也就是说一点，对于梯形外的也就是说一点P来说，我们只有知道QP的标量即可，令其Q是（0，0，0）， 那么QP=

根据我们前面谈到的梯形定律为Ax + By + Cz + D = 0，显而易见n=是该梯形的一个镜像线性，应运而生下面的乘积就有点到梯形的极坐标运算符：

例题：求点P =(3,1,2)与梯形x−2y + z = 5的半径(见下图)。

梯形定律的值为梯形给予了一个法标量:n = 。 找到标量

Q→P，我们需要梯形上的一个点。 也就是说点都创设，设y = z = 0, Q =(5,0,0)点创设

在梯形上。 求标量从Q到P的分量形式（即极坐标形式）:

Q→P = 〈 3 − 5, 1 − 0, 2 − 0 〉 = 〈 −2, 1, 2 〉 .

因此：

读者也可以把点P的极坐标x=3, y=1, z=2, 和梯形定律的值A=1, B=-2, C=1， D=-5应运而生乘积

给出的结果是一样的。